1.1. Фигура и размеры Земли

Земля – третья по счету от Солнца планета Солнечной системы (S_СР ≈ 150 млн. км – 1 а.е.).

Современные представления о фигуре и размерах Земли основываются на многочисленных исследованиях, начало которым было положено в глубокой древности. Еще во II веке до н.э. древнегреческий математик, астроном и географ Эратосфен Киренский считал Землю шаром, радиусом равным 6290 км (по его данным длина экватора составляет 39 501 км, что оказалось лишь на 574 км меньше фактической – 40 075 км).

Форма и размеры Земли изучались и изучаются по результатам астрономических и геодезических измерений, измерений силы тяжести в различных точках земной поверхности.

В последние годы некоторые величины, характеризующие фигуру и размеры Земли, уточнены по данным ИСЗ и пилотируемых космических кораблей.

Истинная поверхность Земли имеет сложную неправильную форму, которая получила название «геоид» (от греческих слов «Земля» и «вид» или «похожий на Землю»).

Геоид – геометрическая фигура, которая совпадает со средней поверхностью вод Мирового океана свободной от приливов, течений и прочих возмущений (т.е. поверхность геоида перпендикулярна отвесной линии во всех его точках).

Мы отметили, что геоид имеет сложную и неправильную форму, но для решения различных задач на поверхности Земли необходимо подобрать такую математически правильную фигуру, которая по форме была бы близка к форме геоида.

Такой фигурой является эллипсоид вращения (сфероид).

Земной эллипсоид – это двухосный эллипсоид вращения:

• его объем равен объему геоида;
• его большая и малая оси соответственно совпадают с плоскостью экватора (большая ось) и осью вращения Земли (малая ось);
• отклонения его поверхности от поверхности Земли минимальны (не превышают 100÷150 м).

Такой земной эллипсоид строго определенных размеров, является вспомогательной поверхностью для всех геодезических и картографических работ.

До 1964 г. каждая страна руководствовалась данными «своего» земного эллипсоида и такой эллипсоид получил название референц-эллипсоида (образец эллипсоида). Данные о некоторых из них приведены в таблице 1.1:

Элементы основных референц-эллипсоидов (из табл. 2.23 «МТ-2000»)

Таблица 1.1

С 1946 г. на территории бывшего СССР для всех работ принят референц-эллипсоид Красовского Ф.Н. (см.* таблицы 1.1). Разность полуосей этого эллипсоида составляет 21 км 382 м.

Дополнительные данные к эллипсоиду Красовского

Большая полуось а = 6 378 245 м.

Малая полуось b = 6 356 863,019 м.

Первое (полярное) сжатие α = = 0,0033523299.

Второе сжатие α′ = = 0,0033634749.

Эксцентриситет e = = 0.081813333.

Радиус шара одинакового объема с эллипсоидом Красовского R = 6 371 110 м.

Радиус шара одинаковой поверхности с эллипсоидом Красовского R = 6 371 116 м.

Радиус шара одинаковой окружности большого круга с длиной меридиана эллипсоида Красовского R = 6 367 559 м.

Радиус шара, одна минута дуги большого круга которого равна морской миле (1852 м) R = 6 366 707 м.

При решении задач, не требующих высокой точности, сжатием Земли пренебрегают, т.е. принимают Землю за шар.

К таким задачам, например, относятся:

• измерение расстояний;
• вычисление дальности видимости ориентиров;
• расчеты плавания по кратчайшим расстояниям и др.

Радиус шара выбирают исходя из определенных условий. Например, при измерении расстояний на море, радиус шара R = 6366 км 707 м (L_Э = 39 983 км).

R_СР = 6371,1 км (L_Э = 40 010,5 км).

1.2. Основные точки, линии и плоскости на поверхности Земли

Рис. 1.1. Основные точки, линии и плоскости Земли

Для ориентирования на поверхности Земли необходимо четко представлять и знать ее основные точки, линии и плоскости.

Проведем окружность (рис. 1.1), которая условно будет представлять собой земной шар.

Из верхней ее точки проведем отвесную линию – земную ось.

Земная ось – воображаемая прямая, вокруг которой Земля совершает свое суточное вращение (≈ 0,5 км/с = 0,464 км/с).

Эта ось (P_NP_S) совпадает с малой осью земного эллипсоида и пересекает поверхность эллипсоида в двух точках, называемых географическими полюсами Земли: – северный – P_N, – южный – P_S.

Северным географическим полюсом (P_N) принято считать тот, со стороны которого собственное вращение Земли усматривается против часовой стрелки.

Южный географический полюс (P_S) – полюс, противоположный северному.

Плоскость экватора – плоскость, перпендикулярная земной оси и проходящая через центр шара (эллипсоида).

Земной экватор – линия (окружность), образующаяся от пересечения поверхности эллипсоида плоскостью экватора.

Земной экватор (линия ЕАQБ) делит земной шар на два полушария:

• северное полушарие (с P_N);
• южное полушарие (с P_S).

Плоскости параллелей – плоскости, параллельные плоскости экватора.

Параллели – малые круги, образующиеся на поверхности земного эллипсоида при пересечении его плоскостями параллелей.

Нормаль (отвесная линия) – прямая, совпадающая с направлением силы тяжести в данной точке:

• для т. P_N (или P_S) нормалью является земная ось «P_NP_S»;
• для т. Е (или Q) нормалью является диаметр земного экватора;
• для т. С – нормалью является прямая линия СОС′, проходящая через центр Земли.

Плоскости истинных меридианов – плоскости, проходящие через ось Земли (P_NP_S).

Истинные (географические) меридианы – линии (окружности), образующиеся на поверхности эллипсоида при пересечении его плоскостями истинных меридианов.

Меридиан, проходящий через место наблюдателя, принято называть истинным (географическим) меридианом наблюдателя.

Начальный (нулевой, Гринвичский) меридиан (*).

По Международному Соглашению с 1884 г. за начальный (нулевой) меридиан принят меридиан Гринвича – меридиан, проходивший через ось главного телескопа прежней Гринвичской обсерватории (существовала 278 лет 1675÷1953 гг.) в предместье г. Лондона (Англия).

С 1953 г. новая Гринвичская обсерватория размещена в замке Херстмонсо (юг Англии в 15 км от побережья пролива Ла-Манш к востоку от нулевого меридиана на 20′25″).

Теперь становится ясно, что, для того, чтобы сориентировать наблюдателя на поверхности Земли, необходимо знать – на какой параллели и на каком меридиане в данное время находится этот наблюдатель, т.е. знать его географические координаты:

• географическую широту (параллель);
• географическую долготу (меридиан):

Примечание:

(*) Нулевой (Гринвичский) меридиан делит земной шар на восточное и западное полушария.

1.3. Географические координаты. Разности широт и долгот

1.3.1. Географические координаты

В системе географических координат, координатными осями являются:

• земной экватор;
• начальный (Гринвичский) меридиан.

Координатами в географической системе координат являются:

• географическая широта – φ (Ш);
• географическая долгота – λ (Д).

Географическая широта – угол при центре Земли между плоскостью экватора и нормалью к поверхности земного эллипсоида в данной точке.

Этот угол измеряется дугой меридиана от экватора до параллели данной точки.

Географическую широту обозначают символом «φ» (фи) или «Ш».

Счет широты ведется от экватора к северному (P_N) или южному (P_S) полюсам. Предел изменения широты от 0° до 90° (на экваторе φ = 0°, на полюсах φ = 90°).

Рис. 1.2. Географическая широта

Если точка (т. А рис 1.2) находится в северном полушарии, то широте дается наименование северная (нордовая) и обозначается буквой N (С); а при вычислениях северная или нордовая широта имеет знак «+».

Если же точка (т. Б рис. 1.2) находится в южном полушарии, то широте дается наименование южная (зюйдовая) и обозначается буквой S (Ю), а при вычислениях южная или зюйдовая широта имеет знак «–».

Все точки, расположенные на одной параллели имеют одинаковую широту (φ_А = φ_А′ = φ_А″ и φ_Б = φ_Б′ = φ_Б″).

1. Санкт-Петербург → φ = 59°55′N      λ = 30°23′E
2. Киев → φ = 50°27′N      λ = 30°30′E
3. Североморск → φ = 69°05′N      λ = 33°30′E
4. Севастополь → φ = 44°37′N      λ = 33°27′E
5. Рио-де-Жанейро → φ = 22°54′S      λ = 43°13′W

Географическая долгота – двугранный угол между плоскостью Гринвичского (начального) меридиана и плоскостью меридиана данной точки.

Этот двугранный угол измеряется сферическим углом при полюсе между указанными меридианами или же – географическая долгота измеряется меньшей дугой экватора от Гринвичского меридиана до меридиана данной точки.

Географическую долготу обозначают буквой «λ» (лямбда) или «Д».

Счет долгот ведется от нулевого (Гринвичского) меридиана к востоку (к исту) и западу (весту).

Пределы изменения долготы от 0° до 180° (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Географическая долгота

Если точка (т. А) находится в восточном (истовом) полушарии, то ее долготе дается наименование восточная (истовая) и обозначается буквой Е (ист), а при вычислениях ей приписывается знак «+».

Если же точка (т. Б) находится в западном полушарии, то ее долготе дается наименование западная (вестовая) и обозначается буквой W (вест), а при вычислениях ей приписывается знак «–».

Все точки, находящиеся на одной и той же половине меридиана имеют одну и ту же долготу (λ_А = λ_А′ = λ_А″ ; λ_Б = λ_Б′ = λ_Б″). Долготы точек, находящихся на противоположной стороне этого меридиана, отличаются от первых на 180°.

Система географических координат является наиболее распространенной и применяется при различных вычислениях и практической деятельности.

Кроме географической системы координат применяются и другие:

• астрономическая;
• геоцентрическая;
• полярная;
• геодезическая и др.

Все системы координат взаимосвязаны между собой на основе математических зависимостей.

Географические координаты некоторых портов Мира

Таблица 1.2

1.3.2. Разности широт и долгот

Географические координаты однозначно определяют положение точки на земной поверхности. Но при плавании судна в море, при переходе его из одной точки в другую происходит изменение координат его места.

Величинами, характеризующими изменение географических координат при переходе судна от одной точки к другой, являются разность широт и разность долгот (рис. 1.4).

Рис.1.4. Разность широт и разность долгот

Пункт (т. А или т. А′), откуда вышло судно, называется пунктом отхода.

Пункт отхода характеризуется начальными координатами (φ₁, λ₁ или φ₁′, λ₁′).

Пункт (т. Б или т. Б′), в который пришло судно, называется пунктом прихода.

Пункт прихода характеризуется конечными координатами (φ₂, λ₂ или φ₂′, λ₂′).

Тогда: – изменение широты (φ), при переходе судна из одного пункта в другой будет называться разностью широт и сокращенно обозначается как Δφ – основное обозначение или как РШ – запасное обозначение.

Разность широт (Δφ) измеряется отрезком дуги (меньшей дуги) меридиана между параллелями пунктов отхода и прихода.

Если судно перемещается в направлении северного полюса P_N (рис. 1.4 судно № 2), то разности широт (Δφ) дается наименование «к северу» («к норду»), и обозначается – к N, а при вычислениях ей приписывается знак «+».

Пример: φ₁′ = 75°00,0′S, φ₂′ = 25°00,0′S (судно № 2), тогда:

                РШ′ (Δφ′) = φ₂′ − φ₁′ = –25°00,0′ – (–75°00,0′) = +50°00,0′ или 50°00,0′ к N.

Если же судно перемещается в направлении южного полюса P_S (рис. 1.4 судно № 1), то разности широт (Δφ) дается наименование «к югу» («к зюйду»), и обозначается – к S, а при вычислениях ей приписывается знак «–».

Пример: φ₁ = 70°00,0′N, φ₂ = 45°00,0′N (судно № 1), тогда:

                РШ (Δφ) = φ₂ − φ₁ = 45°00,0′– (+70°00,0′) = –25°00,0′ или 25°00,0′ к S.

Разность широт измеряется в пределах от 0° до ±180° (к N или к S).

Разностью долгот называется изменение долготы (λ) при переходе судна из одного пункта в другой и сокращенно обозначается как Δλ – основное обозначение, или как РД – запасное обозначение.

Разность долгот (Δλ) измеряется меньшей дугой экватора, заключенной между меридианами пунктов отхода и прихода.

Если судно перемещается к востоку (восточная долгота увеличивается, западная долгота уменьшается), то разности долгот дается наименование «к востоку» («к исту»), и обозначается – к Е, а при вычислениях ей приписывается знак «+».

Пример: λ₁ = 85°00,0′Е, λ₂ = 130°00,0′Е (рис. 1.4 оба судна), тогда:

                (РД) Δλ = λ₂ − λ₁ = 130°00,0′ – (+85°00,0′) = +45°00,0′ или 45°00,0′ к Е.

Если же судно перемещается к западу (восточная долгота уменьшается, западная долгота увеличивается), то разности долгот дается наименование «к западу» («к весту»), и обозначается – к W, а при вычислениях ей приписывается знак «–».

Пример: λ₁ = 130°00,0′Е, λ₂ = 85°00,0′Е (обратный переход судов 1, 2 из т. Б (т. Б′) в т. А (А′) рис. 1.4).

                (РД) Δλ = λ₂ − λ₁ = 85°00,0′ – (+130°00,0′) = –45°00,0′ или 45°00,0′ к W.

Разность долгот измеряется в пределах от 0° до 180° (к Е или к W).

Если при вычислениях значение Δλ превышает 180°, то необходимо абсолютное значение полученного результата отнять от 360°, а наименование разности долгот (знак) изменить на противоположное.

Зная координаты исходной точки (φ_A, λ_A) и значения разности широт (Δφ) и разности долгот (Δλ), которые получились при переходе судна, – можно рассчитать координаты пункта прихода по формулам:

1.3.3. Задачи на расчет значений (Δφ, Δλ, φ₂, λ₂)

А. Расчет значений разности широт (Δφ) и разности долгот (Δλ)

Б. Расчет значений широты (φ₂) и долготы (λ₂) пункта прихода

1.4. Радиусы кривизны земного эллипсоида

Плоскости секущие эллипсоид вращения по различным направлениям, образуют в пересечении с его поверхностью или окружности или эллипсы.

Основными сечениями эллипсоида являются (рис. 1.5):

• сечение плоскостью, проходящей через малую ось;
• сечение плоскостью, перпендикулярной малой оси;
• нормальное сечение.

Сечение плоскостью, проходящей через малую ось РР′ эллипсоида, образует на его поверхности меридианный эллипс или истинный меридиан «PQP′Q′». Кривизна его – переменная величина (радиус кривизны М – тоже). Радиус М уменьшается с уменьшением географической широты (φ) и вычисляется по формуле:

(1.4)

где а – большая полуось;

      е – эксцентриситет

Приняв, что , то

(1.5)

Рис.1.5. Радиусы кривизны земного эллипсоида

Экваториальный радиус кривизны меридиана при φ = 0°: М₀ = 6 335 552,6 м.

Сечение эллипсоида плоскостью перпендикулярной его малой оси РР′ дает на его поверхности малый круг qq′ – параллель. Радиус параллели r вычисляется по формуле:

(1.6)

При φ = 0° радиус параллели равен большой полуоси (а) эллипсоида, и эта параллель – земной экватор.

Нормальное сечение – сечение эллипсоида плоскостью, проходящей через нормаль к его поверхности. Из бесчисленного множества возможных нормальных сечений выделяют два главных нормальных сечения – меридианное и перпендикулярное ему – сечение первого вертикала. Для сечения первого вертикала радиус кривизны эллипса N, вычисляется по формуле:

(1.7)

на полюсе M = N, M < N;

на экваторе N₀ = a.

Экваториальный радиус кривизны первого вертикала при φ = 0°: N₀ = a = 6 378 245 м.

Радиус кривизны нормального сечения, составляющего с меридианом в заданной точке угол А, вычисляется по формуле:

(1.8)

где М и N – величины, определяемые в зависимости от широты φ по формулам (1.4) и (1.7).

Радиусом средней кривизны эллипсоида в данной точке с широтой φ называют среднее геометрическое из радиуса М и N.

Радиус средней кривизны эллипсоида вычисляется по формуле:

(1.9)

Значения М, N, R даны в картографических таблицах УГС через каждые 30′ φ.

Произведение любого радиуса кривизны на «arс 1′» равно длине дуги в 1′ данного сечения. Учтя приведенные выше формулы, получим выражение для определения длин дуг:

1. – одной минуты параллели:

   (1.10)

   или без учета сжатия Земли (е = 0)

   ρ = a · cosφ · arc1′

   (1.11)

2. – одной минуты первого вертикала:

   (1.12)

   или приближенно:

   Δ1′N = 1858,461 − 3,404 · cos2φ

   (1.13)

3. – одной минуты меридиана:

   (1.14)

   или приближенно:

   Δ1′M = 1852,23 − 9,34 · cos2φ.

   (1.15)

Таким образом, поверхность земного эллипсоида имеет кривизну, изменяющуюся от точки к точке по широте и от направления в данной точке.

Выводы

1. Для решения задач судовождения Земной шар принимается за эллипсоид вращения с элементами референц-эллипсоида Красовского.
2. Положение точки на земной поверхности определяется географическими координатами:
   • географической широтой (φ);
   • географической долготой (λ).
3. Величинами, характеризующими изменение географических координат при переходе судна от одной точки к другой, являются:
   • разность широт (Δφ, РШ) и
   • разность долгот (Δλ, РД).
4. Форма и размеры земного эллипсоида характеризуются радиусами кривизны его основных сечений (М, r, N, ρ_A, R).

Примечание: Самоконтроль знаний по теме проводится по тестовым заданиям к главе на базе приложения «Компьютерная система тестирования знаний «OPENTEST».